Enseignements

Révisions ECG1 / Lycée

En classes préparatoires, la deuxième année va très vite et peu de temps est disponible pour consolider les connaissances des années précédentes. Cette section s'adresse aux étudiants qui ont des lacunes à combler, soit sur le programme de 1ère année ECG, soit des lacunes plus profondes qui viennent du lycée (ou même avant).
Plus que dans les autres disciplines, la connaissance mathématique est pyramidale et on ne peut pas envisager d'attaquer sérieusement le programme d'ECG2 sans en avoir les prérequis. Par exemple, les chapitres d'analyse du début de ce cours s'appuient sur des techniques qui ont été présentées bien plus tôt (dérivation, factorisation, étude de signe de fonctions, manipulations de fractions, etc). C'est le cas aussi pour les autres thémes du programme.

Pour une révision efficace du programme de maths de ECG1, le cahier de vacances est fait pour ça.
Tom Dutilleul (du lycée Carnot) a écrit un cours de révision sur les fractions (avec des exos corrigés).
Et des exercices de résolution de systèmes linéaires (indispensable avant de commencer le programme d'algèbre linéaire).
Tancrède Huet démarre son cours de première année par quelques moments de révisions. Il a préparé une feuille d'exercices sur des manipulations algébriques élémentaires (factorisation, fraction, équation, inéquation) et une autre sur les fonctions usuelles, la dérivation, les encadrements.
Ce texte est un cours de première année sur les probabilités et les variables aléatoires discrètes.
La feuille de méthodo numéro 3 est une introduction (rapide) à Python.

Pour pouvoir aborder correctement le programme de deuxième année, il est absolument indispensable de maîtriser sur le bout des doigts les thèmes suivants du programme de première année :

Respecter les exigences de rédaction.
- Citer les hypothèses des théorèmes que l'on veut utiliser. C'est le cas par exemple dans
  - Le théorème de la bijection.
  - Le théorème des accroissements finis.
  - Le théorème fondamental de l'analylse.
  - ...
- Ne pas citer plus d'hypothèses que ce qui est nécessaire à l'utilisation du théorème.
  - Utiliser une croissance comparée dans un calcul de limite ... uniquement s'il s'agit de croissances comparées.
  - Ne pas demander à une fonction d'être C¹ quand on veut appliquer le théorème fondamental de l'analyse (continue suffit).
  - ...
- S'exprimer avec un vocabulaire approprié et précis
  - En algèbre linéaire, ne pas confondre les vecteurs, les nombres, les sous-espaces vectoriels, les matrices.
  - En analyse, ne pas confondre la fonction f et le nombre f(x), écrire correctement et explicitement les propriétés que l'on veut démontrer par récurrence.
  - En probas, ne pas confondre variables aléatoire, événements et nombres réels (on rappelle qu'une probabilité est un nombre réel).
- Mettre des connecteurs logiques entre les différents points de l'argumentation ("Donc", "D'où", "On en déduit",...).
- On définit les objets que l'on manipule.
  - En analyse dire pour quel(s) "x" ou pour quel(s) "n" s'applique tel bout de raisonnement.
  - En probas, dire pour quel(s) k on calcule P(X=k) (c'est-à-dire toujours préciser le support d'une variable aléatoire que l'on veut décrire).
  - Éviter les formulations ambigües où le sujet de la phrase n'est pas précisé ("La famille est liée", "C'est une base", "Elle est continue", "Elle admet une espérance",...). Si c'est clair pour celui qui écrit, ça ne l'est pas forcément pour celui qui lit.
- Utiliser les symboles d'équivalences avec une extrême parcimonie.
  - Les symboles d'équivalence doivent être systématiquement bannis de vos modèles de rédaction (à une seule exception). Ils sont en général :
    - Soit utilisés pour fabriquer un énoncé faux : par exemple f est inférieure à g est équivalent à l'intégrale de f est inférieure à l'intégrale de g. Ce n'est pas ce que dit le théorème de positivité de l'intégrale.
    - Soit utilisés pour dégrader le raisonnement que vous venez de mener : je viens de montrer que la propriété A est vraie et j'en déduis que la propriété B est vraie est plus fort que de dire que A est équivalent à B.
  - La seule exception notable est le raisonnement par équivalence pour résoudre un système linéaire (le cours a montré que le raisonnement par équivalences est correct).
Résoudre efficacement et systématiquement des systèmes linéaires.
Ne pas se tromper sur un calcul de primitives / de dérivées.
Tout connaître sur les graphes.
Ne pas douter / perdre du temps / faire des fautes sur des calculs élémentaires : manipulations de puissances, de fractions, factoriser, étudier un signe,...
Manipuler des sommes, utiliser la relation de Chasles et la linéarité, faire des changements d'indices, ne pas confondre somme partielle, somme infinie, calculer explicitement des limites de sommes géométriques, télescopiques, exponentielles.
En python, on n'apprend jamais un programme par coeur, on en comprend le fonctionnement pour pouvoir éventuellement l'adapter légèrement à la situation. Plus précisément, il faudra
- Savoir simuler une expérience aléatoire et une variable aléatoire associée.
  - En particulier, savoir utiliser la fonction rand() pour fabriquer des événements de n'importe quelle probabilité.
  - Vérifier que le programme renvoie ou affiche une valeur qui est bien une valeur que peut prendre la variable aléatoire. Ne pas confondre P(X=k) et k lui-même par exemple.
- Trouver les termes d'une suite récurrente.
- Trouver une valeur approchée de la solution d'une équation f(x)=0.
- Prendre le réflexe de tester systématiquement un programme Python en se mettant "à la place de son ordinateur" (est-ce qu'il sait qui est "x", qui est "k", qui est "p" ?). Un ordinateur ne peut pas deviner.
- Prendre le réflexe de vérifier que l'on n'a pas touché aux paramètres qui sont à choisir par l'utilisateur. Tous les objets qui sont données comme paramètres d'une fonction ne peuvent pas être modifiés dans le coeur de la fonction.
En probabilité :
- Savoir reconnaître une variable aléatoire par la modélisation (nombre de succès, temps de premier succès, équiprobabilité,...).
- Connaître toutes les caractéristiques des variables de référence.
Savoir reconnaître les différents types d'équations différentielles (linéaire ou non, second membre ou non, ordre, coefficients constants ou non) et les méthodes de résolution associées.

N'hésitez pas à me contacter : louis.merlin.prof@gmail.com